Calculus PAT-1

	Mr.Rittichai   Sae Tia     Cell phone : +66843315969 / 0843315969     Home phone : +6624769832/ 024769832     23/14 Moo5, Soi Suksawad14,     Suksawad Rd.,Jomtong,     Bangkok - Thailand
全课文

Main Menu

# h3mcga1

กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนจริง และ f เป็นฟังก์ชันซึ่งกำหนดโดย

f(x)	=		x3 - 3x - 2 x - 2	,	x < 2
			a - b	,	x = 2
			x2 + ax + 1	,	x > 2

ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซ็ตของจำนวนจริงแล้ว ค่าของ a2 +  b2 เท่ากับเท่าใด

Strategy - the rule "Must have" of Mr.Zhang ® โจทย์ให้ 1. f เป็นฟังก์ชั่นต่อเนื่อง    สิ่งที่ต้องรู้    (1.1) การที่เรารู้ limit ซ้าย = limit ขวา    (1.2) ส่งผลให้เราสามารถแก้สมการ หาค่าสองตัวแปร a และ b (2)   อย่าลืมวิธีการแยกตัวประกอบ x3 - 3x - 2

Solution

แยกตัวประกอบ; x3 - 3x - 2 มองโลกในแง่ดีว่า(x-2) เป็นตัวประกอบ ลองใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ เอาค่า2แทนลงไป 23 - 3(2) - 2 = 0 แสดงว่า (x-2) เป็นตัวประกอบ ส่วนอีกตัวประกอบหนึ่งคือ x2 + 2x + 1

f(x)	=	(x-2)(x2 + 2x + 1) x-2	,	x<2
f(x)	=	x2 + 2x + 1	,	x<2
	=
	=	22 + 2(2) + 1
	=	9

จาก ;
f(x)	=	x2 + ax + 1	,	x>2
	=		,	x>2
	=	22 + 2a + 1	,	x>2
	=	2a + 5	,	x>2

เนื่องจาก f เป็นฟังก์ชั่นต่อเนื่อง
	=
เนื่องจาก f เป็นฟังก์ชั่นต่อเนื่อง
9	=	2a+5
a	=	2
เนื่องจาก f เป็นฟังก์ชั่นต่อเนื่อง
f(2)	=
a - b	=	9
2 - b	=	9	; แทน a = 2
b	=	-7
a2 +  b2	=	22 +  (-7)2
	=	53	Ans.

Brake Booster

precalculus-limit

	Mr.Rittichai   Sae Tia     Cell phone : +66843315969 / 0843315969     Home phone : +6624769832/ 024769832     23/14 Moo5, Soi Suksawad14,     Suksawad Rd.,Jomtong,     Bangkok - Thailand
全课文

Main Menu

# h3mapr0
กำหนดให้
f(x) =    {	x -1	เมื่อ x < 2
	x2- 4x + 6	เมื่อ x ≥ 2

จงหา
(1)
(2)
(3)

Strategy - the rule "Must have" of Mr.Zhang ® สิ่งที่โจทย์ถาม     ให้หา limit ทางด้านซ้าย และ limit ทางด้านขวา เพื่อสรุปหาค่า limit สิ่งที่ต้องรู้ (1) ถ้าผลของ limit ทางด้านซ้ายและขวา เท่ากันแสดงว่า limit หาค่าได้ครับ (2) อันนี้ผู้เรียน แคลคูลัสเบื้องต้นควรหัดมองกราฟเพื่อ ใช้ประกอบการหาคำตอบด้วยครับ

Solution
(1)
(2)
(3)	หาค่าไม่ได้เพราะ               ≠

ดูกราฟประกอบด้วยนะครับ
ต้องขอโทษด้วยครับถ้าผมนำเอาโจทย์ง่ายมาแสดง เนื่องจากว่านักเรียนที่ติว 5 คน มี 1 คน เธอไม่เข้าใจ อะไรคือ limit ทางซ้าย  และอะไรคือ limit ทางขวา ผมต้องเคารพเสียงส่วนน้อยด้วยครับ เลยต้องนำ โจทย์ขึ้นเวปให้เธอดูสักตัวอย่างครับ	มองกราฟแล้วรู้อะไรจากกราฟบ้างครับ

Brake Booster

Calculus - Application of Differentiation

	Mr.Rittichai   Sae Tia     Cell phone : +66843315969 / 0843315969     Home phone : +6624769832/ 024769832     23/14 Moo5, Soi Suksawad14,     Suksawad Rd.,Jomtong,     Bangkok - Thailand
Menu

# h3cadiap2          →  rates of change

A 26 foot ladder is placed against a wall (Fig.1).   If the top of the ladder is sliding down the wall at 2 feet per second, at what rate is the bottom of the ladder moving away from the wall when the bottom of the ladder is 10 feet away from the wall?

(Problem credited by -- High School level)

Strategy the rule "Must have" of Mr.Zhang ® The ladder is a constant length, the bottom of the ladder will move away from the wall at the same rate which the top of the ladder is also moving down the wall. Let x be the distance of the bottom of the laddfer from the wall, and let Y be the distance of the top of the ladder on the wall (see Figure 1). Both x and y are changing with respect to time and can be thought of as functions of time ;that is , x=x(t) and y=y(t). x and y are related by ther Pythagorean relationship:                    x2 + y2 = 262   → (1)

The rate of of the bottom of the ladder moving away from the wall    →	dx dt
Also take diff both side from the equation(1) to find      →	dx dt

Solution

The ladder is a constant length, the bottom of the ladder will move away from the wall at the same rate that the top of the ladder is moving down the wall. At any moment in time, let x be the distance of the bottom of the laddfer from the wall, and let Y be the distance of the top of the ladder on the wall (see Figure 1). Both x and y are changing with respect to time and can be thought of as functions of time ; that is , x=x(t) and y=y(t). Furthermore, x and y are related by ther Pythagorean relationship:

x2 + y2 = 262    →  (2)

Take Diff both side;

dx dt

2x

+

dy dt

2y

=

0

→  (3)

Problem gives ;	dy dt	=-2 (y is decreasing at a constant rate of 2 feet per second),
problem is to find	dx dt	when x =10 feet

102 + y2	=	262
y	=	24 feet

Substitute

dy dt

= -2, x = 10, and y =24 into (2), then solve for

dx dt

2(10)

dx dt

+ 2(24)(-2) = 0

∴

dx dt

=

4.8 feet·sec-1

Ans.  4.8 feet·sec-1 is the rate of the bottom of the ladder moving away from the wall when the bottom of the ladder is 10 feet away from the wall

Fuel Injector

Calculus Applications of Differentiation

Main Menu

# h3cadiap1

Water is poured into an inverted circular cone of base radius 5 cm and height 15 cm at the rate of 10 cm3•s-1  Calculate; a)the rate of increase of the height of water level. b)the rate of increase of the surface area of the water,when the water level is 4 cm high. (Leave answers in terms of π where applicable.)

(Problem credited by O-Level --Marshal Cavendish)

Strategy the rule "Must have" of Mr.Zhang ® Give the water level be h cm high after time t seconds, and the radius of the water surface r cm at this moment as the figure 1 which is a cross-section of the cone.

1. Similar triangle,find r in terms of h
2. Water volume       (V)   =		1 3	πr2h → (1)

3.  Take ;

dy

dx

   both side to get the rate of increase.

Solution
Take similar triangle ;
	r h	=	5 15
	r	=	h 3	→ (2)
From equation(1)	v	=	1 3	π r2h → (1)
Take r from equation(2) substitued to (1)	v	=	1 3	π	(	h 3	)2	h
⇒	v	=	π	h3 27
Take Diff	dV dh	=	π	h2 9
From	dV dt	=		dV dh	x	dh dt

dV

dt

=	10 cm3•s-1 and h = 4 , then ;

	10	=	π 42 9	x	dh dt
	10x9 16 π	=	dh dt
	45 8π	=	dh dt

Ans.   a) the rate of increase of the height when the height is 4 cm, is

45 8π

cm•s-1

b) The water surface is circular,therefore, the surface area

	A	=	πr2	at any instant
From equation(2),	r	=	h 3
Hence	A	=	πh2 9
Take Diff	dA dh	=	2πh 9
And	dA dt	=	dA dh	x	dh dt

Substitue h=4 and

dh dt

=

45 8π

,

we get

dA dt

=

2π(4) 9

x

45 8π

⇒

dA dt

=

5 cm2•s-1

Ans.   the surface rate of the water is increasing at the rate of 5 cm2•s-1 when the water level height is 4 cm.

Fuel Injector

Calculus Integration

Main Menu

# h3macaar1

Calculate the area enclosed by the curve y = x2+1, the y-axis and the lines, y=2,y=3 for the portion in the first quadrant only.

(Problem credited by O-Level --Marshal Cavendish)

Strategy - the rule "Must have" of Mr.Zhang ® Find the area ;   → (1) To calculate area A, x must be expressed in terms of y for the intregation.

Solution	We have ;
y	=	x2 + 1
x2	=	y - 1
x	=	(y-1) 1/2

We bring the equation(1) to find the required area;
	=
	=
	=	2 3	(2)3/2   -	2 3	(1)3/2
	=	2 3	(2√2)   -	2 3
	=	2 3	(2√2 - 1)

.

Ans.    The area is

2 3

(2√2 - 1) units2

Fuel Injector

Calculus applied

Main Menu

# h3macasp1

A force of 40 N. is required to hold a spring that has been stretched from its natural length of 10 cm to a length of 15 cm.    How much work is done in stretching the spring from 15 cm to 18 cm?

Strategy - the rule "Must have" of Mr.Zhang ®
Find the value of k ;	f(x)=kx	→ (1)
And later find work done (w) from ;		→ (2)

Solution

Find k(constant of spring) from equation(1)

40	=	0.05k
k	=	40 0.05
	=	800

Thus, f(x)=800x

And the work done in stretching the spring from 15 cm to 18 cm is

Find work done(w) from equation(2)

w	=
	=
	=	400[(0.18)2-(0.15)2]
	=	3.96 J

Ans.    3.96 J work is used for stretching the spring from 15 cm to 18 cm.

Fuel Injector

Pre Calculus

Main Men

# h3mapr1   Maximizing Volume  Precalculus; Derivative (อนุพันธ์ของฟังก์ชัน)

Owner wants to send some expensive fruit to overseas. He gets the sample piece of carton paper size 10 cm. x 10 cm. from overseas customers. 1. The owner orders the employee to fold this paper to be the box with an open top. 2. By cutting the paper sample according to the "X" tracing as the photo below. 3. Pack an expensive fruit inside the carton box with the open top of the transparent plastic in order to be able seeing through by customers. The worker must find the "X" value in this folding. When the size of paper is 10 cm.x 10 cm., 1. How many cm. of "X" value would be cut for the maximum volume of this carton box forming?. 2. What is the max. volume cm. cube of this carton box with open top? Strategy Solution

Give "X" cm. is the length of the paper side which will be cut. And V(X) is the volume of the the carton box with the open top To value X>0 and 10-2X>0 ,therefore, 0

implies:

	V(X)	V'(X)	Conclusion
X<5	0	Positive real number	Increasing function
X=5/3	0	Zero	Relative maximum value
X>5/3	0	Negative real number	Decreasing function

Test by second derivative

The second derivative is negative. The function therefore has a relative maximum

value at x = 5/3

Ans. Therefore at X = 5/3 cm., the carton box open top will have a max. volume.

The max. volume cm. cube of this carton box with open top is 74.074 cm. cubic.

To the left of a maximum -- at a point C -- the slope of the tangent is positive: f '(x) > 0.

While at points immediately to the right -- at a point D -- the slope is negative: f '(x) < 0.

In other words, at a maximum, f '(x) changes sign from + to −